Rappel de l'énoncé :
Imaginons un test de dépistage doté des propriétés suivantes :
On teste un groupe de 1 000 personnes ne présentant aucun symptôme visible mais comportant une seule personne contagieuse. Bien sûr, on ne sait pas laquelle.
À votre avis, quelle est la probabilité pour qu'une des personnes déclarées "positives" à cette occasion soit réellement contagieuse ?
Réponse : 2 %
Explication :
Pour les 999 personnes non contagieuses, on obtient 50 résultats positifs, en fait des faux positifs.
La personne contagieuse est détectée à coup sûr par le test, donc comptée parmi les positifs.
On a donc en tout 51 résultats positifs, dont 50 correspondent à des personnes non contagieuses.
La probabilité qu'une personne comptée comme "positive" soit contagieuse est donc p = 1/51 ≈ 0,02 soit 2 % CQFD
Étienne Klein a donné au moins deux fois cet exemple,
dans une salle de conférence https://www.facebook.com/VoyageonsAutrement/videos/1288166354884927/
et dans un bar https://www.youtube.com/watch?v=KB5w5ZGzy5Q
Il a bien précisé, à plusieurs reprises et à juste titre, qu'il ne fallait pas l'appliquer directement à la situation actuelle.
En fait il existe entre ces deux versions une subtile différence, vraisemblablement due à un lapsus ; vous aurez sans doute un peu de mal à la détecter.
Il en résulte que si l'intention est bonne, sa démonstration est juste pour la conférence mais "fausse" dans le bar...
Pesez bien chaque mot...
Ceux qui ont dénoncé la "supercherie" n'ont d'ailleurs pas écouté Étienne Klein avec suffisamment d'attention...
Commentaires :
L'utilisation à bon escient d'un test dépend bien entendu de très nombreux paramètres.
Pour mieux détecter la personne contagieuse, il faudrait augmenter l'efficacité du test.
Si celle-ci atteignait 99,9 %, ce qui serait absolument miraculeux, alors on trouverait un seul faux positif et un vrai positif.
La probabilité qu'une des deux personnes "positives" soit contagieuse serait alors de 0,5... Autant jouer à pile ou face !
Inversement, si l'efficacité n'était que de 75 %, on aurait un seul vrai positif et 250 faux,
la probabilité qu'une personne testée positive soit contagieuse tomberait à 0,4 %
Bien entendu, de tels résultats n'ont aucune valeur statistique
car le nombre de personnes contagieuses est bien trop faible,
ce n'est qu'un "exemple à caractère scolaire" avec un test presque "idéal".
On peut aussi montrer que le test décrit dans l'énoncé donne de meilleurs résultats
si la proportion de personnes contagieuses augmente !
Par exemple, s'il y a non pas 1 mais 20 personnes contagieuses parmi les 1 000, cela donne :
20 vrais positifs
49 faux positifs
La probabilité qu'une personne "positive" soit contagieuse est de 20/69 = 0,29 soit 29 %
Avec 100 personnes contagieuses parmi les 1 000, on a :
100 vrais positifs et
45 faux positifs
Et la probabilité passe à 100/145 = 0,69 soit 69 %
Quid des tests PCR ?
L'efficacité des tests PCR actuels est très inférieure à celle décrite dans le problème :
notamment lorsque leur sensibilité est augmentée au-delà du raisonnable,
comme c'est le cas en France,
en raison, notamment, de manipulations mal effectuées.
À un instant donné, sauf évidemment dans les foyers d'infection caractérisés,
la proportion de personnes porteuses du virus et contagieuses est très faible. Heureusement !
Dans ces conditions, chacun peut comprendre qu'un test modérément fiable,
appliqué de façon systématique à une population faiblement contaminée,
n'a pratiquement aucun intérêt sanitaire tout en étant très coûteux pour la collectivité.
En revanche il est très important de tester méthodiquement les personnes à risque ou présentant des symptômes,
puis de confirmer ou non les résultats par des investigations complémentaires.
Un test idéal ne devrait détecter que les personnes contagieuses et les malades
afin de les isoler et/ou de les soigner. Plus facile à dire qu'à faire !
Les "cas" dont on nous rebat les oreilles matin, midi, et soir
sont pour la plupart des personnes en parfaite santé
mais il faut bien faire peur au bon peuple...
Pourquoi Étienne Klein répète-t'il que son exemple ne doit pas être
directement appliqué à la situation actuelle ?
Tout simplement parce qu'il faudrait
Certaines personnes n'ont jamais été testées (moi par exemple),
d'autres l'ont été plusieurs fois, à des moments différents,
dans des circonstances différentes, etc.,
ce qui rend tout calcul impossible.